高等数学部分：

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.

1.设函数 则函数 的间断点是（     ）

2.设 在 及其邻域内可导，且当 时 ，当 时 ，则必有 （     ）

3.设 在 处可导，且 ，则 等于（     ）

4.函数 的导函数 的

图像如图所示，则在 内

的单调递增区间是（     ）

5.若 ，则 等于（     ）

6.设 为连续的偶函数，且 ，则 等于（     ）

7.设函数 ，其中 为可导函数，则 等于（     ）

8.若事件A发生必然导致事件B发生，则事件A和B的关系一定是（     ）

二、填空题：把答案填在题中的横线上.

9.设函数 在x=0处连续，则a=              .

10.设函数 ，则               .

11.设函数 ，则dy=              .

12.设函数 ，则               .

13.               .

14.设函数 ，则               .

15.               .

16.设 ，则               .

9. ;              10.  ;    11.  ;      12.  ;   

13.  ;        14.  ;       15.1;       16.   ;    

三、解答题：解题应写出推理、演算步骤.

17.设 ，求k值.

18.设函数 ，求 .

19.计算

20.设 的一个原函数为 ，求 .

21.当 ，证明：

22.某工厂要制造一个无盖的圆柱形发酵池，其容积是 ，池底的材料 ，池壁的材料 ，问如何设计，才能使成本最低，最低成本是多少元？

23.求二元函数 的极值.

参考答案：

17.解：因为

所以 ，解得 .

18.解：因为   

所以       

19.解：设 ，则dx=2tdt.当x=0时,t=0;当x=4时，t=2.因此

另还有两种解题方法，只要答案一致均为正确。

20.解：因为 ，所以

21.

证明：设 ，则

因为

①     当 所以 是单调增加函数.

即 时， 即 ，所以 ；

②     当 所以 是单调减少函数.

即 时， 即 ，所以 .

综上，知当 时， .

22.解：设池底半径为r，池高为h（如图），则 ，得 .又设制造成本为S,则

令 ，得驻点r=1.

因为             

所以r=1为唯一的极小值点，即为最小值点.

所以底半径为1m，高为 ，可使成本最低，最低成本为 元.

23.解：因为    

由于           

所以       

则           又

所以，点（5，2）为极小值点，极小值为